Неравенство треугольника

Теорема

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что АВ < АС + СВ. Отложим на продолжении стороны АС отрезок CD, равный стороне СВ (рис. 128). В равнобедренном треугольнике BCD ∠1 = ∠2, а в треугольнике ABD ∠ABD> ∠1 и, значит, ∠ABD > ∠2.

рис. 128

Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то АВ < AD. Но AD = АС + CD = АС + СВ, поэтому АВ < АС + СВ. Теорема доказана.

Следствие

Для любых трёх точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА+ АС.

Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.